Trực tâm là gì? Những ý nghĩa của Trực tâm

Blog Nghialagi.org giải đáp ý nghĩa Trực tâm là gì

  • Chào mừng bạn đến blog Nghialagi.org chuyên tổng hợp tất cả hỏi đáp định nghĩa là gì, thảo luận giải đáp viết tắt của từ gì trong giới trẻ, hôm nay chúng ta cùng tìm hiểu một khái niệm mới đó là Trực tâm là gì? Những ý nghĩa của Trực tâm. Xác định trực tâm trong tam giác và các tính chất quan trọng cần nhớ. Trực tâm của tam giác là gì? Tính chất trực tâm trong tam giác: Lý thuyết và Các dạng bài tập. Trực tâm là gì? Các tính chất của trực tâm của một hình tam giác

Định nghĩa Trực tâm là gì?

Đường cao của một tam giác là gì?

Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao.

Lý thuyết và Các dạng toán về tính chất trực tâm trong tam giác- Nghialagi.org
Lý thuyết và Các dạng toán về tính chất trực tâm trong tam giác- Nghialagi.org

Tính chất ba đường cao của tam giác

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Trong hình ảnh bên dưới, S là trực tâm của tam giác LMN.

  • Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
  • Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
  • Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.

  • Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
  • Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

Trực tâm là gì?

Ba đường xuất phát từ 3 đỉnh của tam giác và vuông góc vs cạnh đối diện sẽ giao nhau tại 1 điểm gọi là TT. Vì vậy giao điểm của ba đường cao trong tam giác chính là trực tâm của tam giác.

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó
+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông
+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó

Tính chất của trực tâm

  • Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại bằng 1/2 khoảng cách từ một đỉnh tới TT.
  • Trực tâm tam giác vuông chính là đỉnh góc vuông của tam giác vuông đó.
  • Nếu tam giác đã cho là tam giác cân thì đường cao cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của đỉnh tam giác cân đó.
  • Trong tam giác đều, trực tâm cũng đồng thời là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.
  • Định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của TT qua cạnh tương ứng.

Bài tập về trực tâm tam giác

Bài tập: Cho O, H, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của △ABC. Chứng minh rằng O, H, G cùng thuộc một đường thẳng (được gọi là đường thẳng Euler của △ABC) và GH = 2GO.

Giải

Chứng minh:

Cách 1:

Vẽ OM ⊥ BC, ON ⊥ AC
Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC (đ/lí đường kính vuông góc dây cung)
⇒ MN là đường trung bình của △ABC
⇒ MN // AB
⇒ NMCˆ=ABCˆ, MNCˆ=BACˆ
OMNˆ+NMCˆ=900, HABˆ+ABCˆ=900, NMCˆ=ABCˆ
⇒ OMNˆ=HABˆ
ONMˆ+MNCˆ=900, ABHˆ+BACˆ=900, MNCˆ=BACˆ
⇒ ONMˆ=ABHˆ
△OMN và △HAB có: OMNˆ=HABˆ (cmt), ONMˆ=ABHˆ (cmt)
⇒ △OMN ∼ △HAB (g – g)
⇒ OMHA=MNAB=12
⇒ OM=12HA
Gọi G’ là giao điểm của AM và OH
OM // AH ⇒ G′MG′A=OMHA=12
⇒ G’ là trọng tâm của △ABC
⇒ G’ ≡ G
Vậy H, G, O thẳng hàng và GOGH=OMHA=12

Cách 2:

Gọi M là trung điểm BC. Kẻ đường kính AD.
Ta có: ACDˆ=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ CD ⊥ AC
mà BH ⊥ AC
⇒ BH // CD
Tương tự, CH // BD
BHCD là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song)
mà M là trung điểm của BC
⇒ M là trung điểm HD
△ABC có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm BC), G là trọng tâm
⇒ G ∈ AM và AG=23AM
△AHD có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm HD), G ∈ AM và AG=23AM
⇒ G là trọng tâm của △AHD
mà HO là đường trung tuyến của △AHD
⇒ G ∈ HO và GH = 2GO
Vậy O, H, G cùng thuộc một đường thẳng và GH = 2GO

Tính chất được phát biểu thành lời như sau: Trong một tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác là 3 điểm thẳng hàng.Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến cạnh nối hai đỉnh còn lại”

Kết luận

Cảm ơn bạn đã đọc bài viết của blog nghialagi.org, hy vọng những thông tin giải đáp Trực tâm là gì? Những ý nghĩa của Trực tâm sẽ giúp bạn đọc bổ sung thêm kiến thức hữu ích. Nếu bạn đọc có những đóng góp hay thắc mắc nào liên quan đến định nghĩa Trực tâm là gì? vui lòng để lại những bình luận bên dưới bài viết này. Blog nghialagi.org luôn sẵn sàng trao đổi và đón nhận những thông tin kiến thức mới đến từ quý độc giả

Co-founder tại Blog Nghilagi.org Giải đáp thắc mắc bạn đọc. Tra thuật ngữ nhanh và chính xác nhất. Nghĩa Là Gì - Giải thích mọi câu hỏi kỳ quặc nhất Hãy cùng nhau chia sẻ những kiến thức bổ ích